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Was ist eigentlich das Gegenteil der Zahl 1?

Wie, gleich von vorne anfangen...
Es ist doch klar, dass man das zusammenzählt, was gerade in einem Kontext sinnvoll ist, ggf. sind es halt einfach Objekte und gut is'. Damit ist die An-Zahl ja nicht verkehrt geworden.

Bertrand Russell ging es darum zu zeigen, dass die Zahl letztlich auch nichts anderes als eine Kategorie ist. Der Verweis auf die Anzahl führt letztlich nicht weiter.
 
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Und was ist eine "Kategorie"?
Bereits der Sprachbegriff 'Kategorie' (zur Sprachraumbildung), so mein allererster (mich selbst hier verblüffender!) Gedanke, scheint mit dem Sprachbegriff 'Allegorie' (zur Sprachraumverschleierung) eine (Nicht-)Verbindung (??) in versteckten und sich offenbarenden Wechselbeziehungen jeweils partiell zu erkennen und allgemeingültig zu erfahren erlauben....

Schöne Grüße - auch an alle, die heute am 11.11. kategorisch vorbestimmt "zum Lachen in den Mundschutzkeller gehen müssen" ...:)
 
Zuletzt bearbeitet:
2 + 2 = 4

und denken, damit sei alles gesagt. Aber was bedeutet es? Vielleicht:

2 Äpfel + 2 Äpfel = 4 Äpfel

aber sobald ich nur eine Birne
Es geht natürlich so
2 Äpfel + 2 Äpfel = 4 Birnen
4 Birnen + 2 Äpfel = 6 Erdbeeren
6 Erdbeeren + 4 Birnen = 10 Äpfel.
10 Binär für 2 Äpfel...
Das ist Mystik. Alles wurde so iwann mal definiert, das was funktioniert bleibt dann in den Lehrbüchern.
Eigentlich ging man aus von 2 + 2 = 2
+==
 
Bertrand Russell ging es darum zu zeigen, dass die Zahl letztlich auch nichts anderes als eine Kategorie ist. Der Verweis auf die Anzahl führt letztlich nicht weiter.
Nochmal anders...
Eine Zahl hat halt einen Ursprung in der An-Zahl: Apfel + Birne + Erdbeere = 3 Stücke Obst. Das führt insofern eben gerade weiter, wenn man deren (An-)Zahl beschreiben möchte.
Was soll dagegen "Kategorie" uns dagegen sagen? Was sagt sie zu den 3 Stücken Obst aus? Sie klingt mir zu fern und unpassend.
 
Und was ist eine "Kategorie"? Immerhin kann die Zahl leicht aus der An-Zahl entstanden sein vor Tausenden von Jahren.

Was eine Kategorie ist? Nun, dazu musst Du den Philosophen Immanuel Kant lesen, denn er hat sich eingehend mit Kategorien befasst. Leicht verständlich ist das aber nicht gerade.
Und auch stinklangweilig.

In den letzten Jahren habe ich mehr mit der Mathematik befasst, gerade auch mit der Zahlentheorie. Es ist nicht so, dass ich hinreichend mathematisch gebildet wäre, um diesbezüglich echte mathematische Literatur zu studieren. Aber Gottseidank gibt es heutzutage auch eine populärwissenschaftliche Literatur, die einem das vermitteln kann.

Wir alle werden seit unserer frühesten Kindheit in der Mathematik (oder genauer: im Rechnen) unterrichtet. Daher hat sich vieles in diesem Zusammenhang so sehr in unsere Hirne eingebrannt, das wir es gar nicht mehr in Frage stellen. Allein schon die Formelsprache:

2 + 2 = 4

das nehmen wir als so völlig selbstverständlich hin, aber woher stammt es?
Tatsächlich war das nicht immer so.
Unsere Mathematik stammt bekanntlich aus dem antiken Griechenland, und was weniger Menschen wissen, aufgrund ägyptischer und sumerischer Vorlagen. Die griechischen Mathematiker schrieben ihre Texte noch voll wörtlich, also etwa wie:

Zwei und Zwei ist gleich Vier.

Unsere mathematische Formelsprache entstand dann erst im Laufe der Jahrhunderte. Die Texte der griechischen Mathematiker mussten handschriftlich kopiert werden und irgendwann gingen die Kopisten dazu über, Worte abzukürzen. Sie stellten ihren Texten Zeichenlisten voran:

= entspricht "ist gleich"
+ entspricht "und"
usw.

Woraus dann am Ende dann unsere mathematische Formelsprache entstand.

Noch viel weniger stellen wir in Frage, was Zahlen den eigentlich sind, und was sie überhaupt bedeuten. Wir meinen, es zu wissen, aber eigentlich wissen wir über die Zahl an sich überhaupt nichts.

Wenn heute jemand (außerhalb der Mathematik) sagt: "Das ist irrational!" - dann bedeutet dies soviel wie: Das ist hinrissig.
Kaum jemand macht sich aber Gedanken darüber, woher dieser Asudruck überhaupt stammt.

Die antiken griechischen Mathematiker zu Zeiten der Pythargoräer (6. Jh. v. Chr.) gingen davon aus, dass jede Zahl rational (= von Ratio, der Teiler) als ein Bruch ganzer Zahlen darstellbar sei. Ggf. mit Brüchen großer Teiler, aber grundsätzlich durch Brüche darstellbar.
Es zeigte sich aber bald, das dies nicht der Fall ist.
Als erstes zeigte sich das bei der Länge der Diagonalen im Quadrat. Man fand heraus, dass sie sich im Verhältnis zur Kantenlänge des Quadrats nicht in Brüchen darstellen lässt, sie ist eben "irrational". Die Pythargoräer verheimlichten dies der Legende nach nach aussen, das "Geheimwissen" einer Sekte eben. Und der Legende nach sollen sie einen der ihren im Meer ersäuft haben, als dieser es nach außen offenbarte (man sieht, auch damals galt schon: Es kann eben nicht sein, was nicht sein darf).
Die nächste irrationale Zahl war die Kreiszahl Pi.
Der geniale griechische Mathematiker Archimedes fand die erste Methode der Näherung von Pi, die Intervallschachtelung: Vielecke, die den äußeren Kreis immer weiter verkleinern, und Vielecke, die den inneren Kreis immer weiter vergrößern. Dazwischen liegt irgendwo Pi, und Archimedes äußerte: Der wahre Wert muss irgendwo zwischen maximal 3,140 ... und 3,142 liegen, wobei es die Dezimaldarstellung damals natürlich noch nicht gab (er stellte es durch Brüche dar).

Heutzutage ist das Rechnen mit Zahlen kein Problem mehr, jeder kann es ... vielleicht.
Vor rund 20 Jahren kam irgendein Student mal mit einem Computer-Algorithums daher, der die Zahl Pi beinhaltete, irgend etwas wie

ax + bx + cx ... * Pi = 4.

Einige Studenten programmierten dies zum Spaß und aus Interesse mal nach ... und tatsächlich: Glatt 4!
Wie konnte das sein? War Pi etwa doch keine irrationale Zahl? Denn nur dann konnte es zu solchen Ergebnissen kommen ...

... bis ein Professor dem auf dem Grund ging, mit einer sog. Langstellen-Software. Und das Ergebnis war nicht glatt 4, sondern so etwas wie:

4.00000000000000000000000000000584973152845....

Tatsächlich waren die langen Nullstellen voran der Rundungsgenauigkeit normaler Prozessoren und Software zum Opfer gefallen.

Das mag jetzt wie eine banale Story rüberkommen, es illustriert aber einmal mehr, worüber wir uns kaum Gedanken machen: Das Computer eben auch nur mit rationalen Zahlen rechnen und mit endlichen Stellen.

Tatsächlich gibt es eine Reihe von Fallstricken im Rechnen mit der Zahlendarstellung von Computern.

Die Zahlendarstellung von Computern beruht auf Stellen + Exponent, also irgend etwas wie:

Single Precision: Sechs Stellen + Exponent +/- 127
Double Precision: Zwölf Stellen + Exponent +/- 1023 o.ä.

Für die allermeisten Berechnungen reicht das völlig aus, nur gibt es ein paar Fallstricke:

1. Die Berechnungen stimmen nur dann, wenn man Zahlen ähnlicher Größenordnung miteinander verrechnet. Anderenfalls schieben sich die Stellen rechts oder links heraus. Allerdings rechnet man auch fast immer so, denn niemand ist daran interessiert, kontinentale Entfernungen mit der Genauigkeit von Atomen zu berechnen.
2. Im Zusammenhang mit der binären Zahlendarstellung ist ein gewisser Anteil der Berechnungen per se falsch. Der Fehler ist sehr klein - aber es ist einer. Auch das spielt meistens keine Rolle, es sei denn ...
3. ... man hat an einer Stelle des Programms irgendeinen Vergleich, wie: IF Ergebnis = 4.5 THEN ... und dann fällt das Programm "falsche" Entscheidungen! Denn für den Rechner ist
4.4999999999997584123 eben nicht dasselbe wie 4.5 - und damit hat er natürlich völlig Recht!
Als Hobby-Programmierer habe ich mir an diesem "Problem" schon tagelang die Zähne ausgebissen, und ich bin ums Verrecken nicht darauf gekommen, warum das verdammte Programm immer so einen Müll macht!
4. Manche Berechnungen sind per se falsch. 1/3 * 3 = 1. Aber nicht 0.9999999... und das wird ein Computer daraus machen.
5. Solange man nur lineare Berechnungen macht, kann man das alles ignorieren. Am Ende rundet man das Ergebnis und es stimmt. Etwas anderes sind aber irgendwelche fortgesetzen Simulationen und Berechnungen, denn dann kumulieren diese ganzen Fehler. Man muss sich dann genaue Gedanken machen, was man da eigentlich tut und andere Algorithmen entwerfen.
 
Giacomo_S: Hinsichtlich solcher Berechnungen kannst du ja mal ein Programm schreiben, dass die kleinste natürliche Zahl N sucht, die als letzte Dezimalstelle eine 2 hat und die eine Quadratzahl ist. Wenn dein Programm etwas ausspuckt (nicht unwahrscheinlich), bin ich gespannt, was :)

Wenn Kategorie schon langweilig ist, ist das ein Grund mehr bei An-Zahl zu bleiben, das ist m.A.n. jedenfalls anschaulich.
 
Giacomo_S: Hinsichtlich solcher Berechnungen kannst du ja mal ein Programm schreiben, dass die kleinste natürliche Zahl N sucht, die als letzte Dezimalstelle eine 2 hat und die eine Quadratzahl ist. Wenn dein Programm etwas ausspuckt (nicht unwahrscheinlich), bin ich gespannt, was :)

Ohne dies jetzt begründen zu können, vermute ich: Es gibt sie nicht.
 
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Ohne dies jetzt begründen zu können, vermute ich: Es gibt sie nicht.
Das ist mathematisch richtig, aber Programme können eine solche Zahl erhalten, wenn sie einen Rundungsfehler machen :)

Die Begründung ist übrigens nicht schwierig:
0*0 = 0, 1*1 = 1 und 9*9=(8)1, 2*2 = 4 und 8*8=(6)4, 3*3 = 9 und 7*7=(4)9, 4*4=(1)6 und 6*6=(3)6 und 5*5=(2)5
Nur diese Endziffern (0, 1, 4, 5, 6 und 9) sind möglich, weil nur die letzte Ziffer einer Zahl 10*zx + zl (zx= Zahl ohne die letzte Ziffer, zl, = die letzte Ziffer einer Zahl) relevant ist:
((10*zx)+zl)^2 = 100*zx + 20*zx*zl + zl*2 -> Nur zl*2 hat Auswirkung auf die letzte Ziffer
-> Die Ziffern von zx spielen also keine Rolle für zl*2 und somit gibt es nur Quadratzahlen mit 0, 1, 4, 5, 6 und 9 (in Dezimalsystem), nicht aber mit 2,3,7 oder 8.

By the way: Deine Ausführungen sonst sind mir (Informatiker mit mathematischer Affinität) i.a. bekannt (bis auf Historisches z.T.), nur sehe ich keine großen Zusammenhang zum "Gegenteil von 1", weshalb ich nicht wüsste, was ich dazu sagen groß soll. Ein Stichpunkt vielleicht dazu: Ja, die alten Rundungsfehler, die sind uns seit Jahrzehnten bekannt... ein Grund mehr damit möglichst sauber umzugehen und nicht immer alles zu glauben, was ein Programm so ausgibt ;)
 
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