Also wikipedia z.B. kann dir das schon sagen
Ansonsten ist die "einfache Zahl" einfach die An-Zahl von etwas, ob nun 2 Äpfel oder 5 Früchte.
Von dem Mathematiker Bertrand Russel gibt es diese Geschichte, dass mal ein Mann zu ihm sagte:
Mann: Sie können mir erzählen, was Sie wollen, aber dennoch weiß ich, dass 2 + 2 = 4 !
Russel: Nun ... aber was bedeutet es?
Mann: Also, 2 Hunde + 2 Hunde = 4 Hunde.
Russel: Gut, aber es kann verschiedene Hunde geben, Kreuzungen mit dem Wolf ...
Mann: Okay, also 2 Tiere + 2 Tiere = 4 Tiere.
Russel: Es ist nicht genau geklärt, wo Tiere aufhören und Pflanzen anfangen ...
Mann: Dann also 2 Lebewesen + 2 Lebewesen = 4 Lebewesen.
Russel: Lebewesen sind letztlich nicht genau definiert ...
Mann: Also gut, zum Schluss: 2 Kategorien + 2 Kategorien = 4 Kategorien.
Russel: Aha! Nun sind wir also bei den Kategorien angelangt, da können wir also gleich wieder von vorn anfangen.
Natürlich macht "Gegenteil von 1" eigentlich keinen Sinn (da helfen uns Pi oder e u.ä. auch nicht weiter, erst recht nicht der arme Barbier), aber wir können hier ja ein wenig herumspinnen und irgendwas uns aus den Fingern saugen.
Wenn überhaupt je einer mal etwas über Zahlen an sich herausgefunden hat, dann war es Georg Cantor mit seiner Zahlentheorie und Begründer der Mengenlehre.
Cantor konnte zeigen, dass es mindestens zwei verschiedene, unendlich große Zahlenmengen gibt und damit auch zwei verschiedene Arten der Unendlichkeit. Die rationalen Zahlen sind abzählbar, in einer Art Diagonalschema (unendliche Zeit vorausgesetzt). Die irrationalen Zahlen sind nicht mehr abzählbar, "überabzählbar" und somit ist die Menge der irrationalen Zahlen "mächtiger" als die der rationalen, obwohl beide Mengen unendlich groß sind.
An der Frage, ob es unendlich viele Zahlenmengen gibt oder nicht, der Kontinuumshypothese, scheiterte Cantor und verlor darüber den Verstand. Kurt Gödel u.a. konnten später zeigen, dass diese Frage mit unserer Mathematik unentscheidbar ist (und auch Gödel verlor später den Verstand und starb sogar daran).
Dies wirft eine Reihe anderer Fragen auf, über die sich auch andere Mathematiker unter Cantors Zeiten ganz erheblich aufgeregt haben. Man äußerte sich u.a. von der "Gottgegebenheit" der rationalen Zahlen, während die irrationalen Zahlen "Menschenwerk" seien. Was die bis heute ungeklärte Frage aufwirft, ob die Mathematik als solche menschengemacht ist oder eine Eigenschaft des Universums ist, eine Frage, die die Mathematik bis heute in zwei Lager teilt.
Der endgültige Beweis der Unentscheidbarkeit der Kontinuumshypothese in den 60er Jahren wirft ein anderes Problem auf.
Die Mathematik hat ihre elementare Basis in der klassischen Logik. Nach ihr kann es nur zwei Zustände geben, wahr und falsch. Darauf fußt eine indirekte, über 2.500 Jahre alte Beweismethode der griechischen Mathematik, der Beweis durch das ausgeschlossene Dritte.
Der Beweis durch das ausgeschlossene Dritte besagt, dass man eine Annahme macht, die man zu beweisen sucht, was aber dann zu widersprüchlichen Ergebnissen führt. Daher muss also ihr Gegenteil richtig sein, denn es kann nur wahr und falsch geben. Pikanterweise wurde ausgerechnet die Irrationalität der Länge der Diagonalen im Quadrat so bewiesen, schon zu Zeiten der Pythargoräer: Man nimmt erst einmal an, die Diagonale sei rational. Dies führt im Weiteren zu Widersprüchen, also ist das Gegenteil wahr und die Diagonale irrational.
Diese Methodik kann aber nur dann schlüssig und stabil sein, wenn es nur die zwei Zustände wahr und falsch gibt. Die Kontinuumshypothese lässt sich aber nicht in wahr oder falsch einteilen, sie ist unentscheidbar. Wenn es also unentscheidbare Aspekte der Mathematik geben kann: Was wird dann aus der Beweismethode des ausgeschlossen Dritten? Ist sie überhaupt gültig?
Vor allem: Sind die Sätze, die man so bewiesen hat, überhaupt gültig und bewiesen?
Und das sind einige, denn bis heute lässt sich vieles nicht anders beweisen. Auch die Irrationalität der Diagonale im Quadrat ist bis heute nicht anders bewiesen.
Aus dieser Frage entstand eine eigene Bewegung innerhalb der Mathematik, alles "konstruktiv" beweisen zu wollen, die Konstruktivisten. Bis heute sind sie allerdings mehr eine Splittergruppe geblieben.
Die Zahlentheorien Cantors und die sich aus ihnen ergebenden Fragen hat man lange Zeit für rein intellektuelle Spielereien angesehen. Mindfuck sozusagen, ohne praktischen Wert.
Der Blick auf sie hat sich allerdings in den letzten 30 Jahren gewandelt.
In unseren Zeiten der digitalen Kryptographie, Ver- und Entschlüsselung, Blockchain o.ä. wurden sie auf einmal von grundlegender Bedeutung.
Denn die Zahlen- und Mengentheorien Cantors sind möglicherweise der Schlüssel zur Lösung grundsätzlicher kryptografischer Fragen und Algorithmen.
Jegliche Verschlüsselung basiert auf dem Produkt zweier möglichst großer Primzahlen. Die kann man mit den heutigen, digitalen Methoden in Sekunden praktisch beliebig lang erzeugen. Die umgekehrte Aufgabe aber - bei einer beliebigen Zahl herauszufinden, welches Produkt von zwei Primzahlen sie darstellt (= die Entschlüsselung) - ist extrem rechenintensiv. Mit der steigender Größe der Faktoren steigt der Rechenaufwand exponentiell, im Wesentlichen handelt es sich bis heute um einen Algorithmus von Pierre de Fermat aus dem Jahr 1637.
Der Algorithmus ist NP-vollständig, d.h. er ist nicht in polymidaler Zeit lösbar.
In der Praxis bedeutet das, das man Verschlüsselungen einfach erstellen kann, die mit keinem Rechner der Welt zu knacken sind und dies auch nie sein werden, solange sich die Theorie nicht verbessert und solange es keine Quantencomputer gibt. Aus diesem Grund haben die USA Schlüssel jenseits bestimmter Länge unter harte Strafen gestellt, bis zu 20 Jahren Haft kann es da geben.
Bis heute ist nicht bekannt, ob ein besserer Algorithmus bis heute einfach nur noch nicht gefunden ist, oder ob es ihn nicht gibt und/oder nicht geben kann. Die Cantorschen Theorien und ihre Weiterentwicklungen können ein Weg dazu sein, dies zu verändern.