Wenn ich jetzt beide Teilflächen wieder zusammezähle, so komme ich wieder auf die Ganzfläche, aber wie das möglich, wenn ja beide Teile vorher getrennt waren, also eigens Abgegrenzt? Da muss doch ein unendlich minimaler Spalt dazwischen sein, welcher beide Grenzen definieren kann, aber wieso hat dieser Spalt (welcher die Fläche zwischen den Grenzen der Teile einnimmt, wo ja eine sein muss weil es sonst nicht zwei Teile wären) keine Auswirkung auf die Gesamtfläche?
Zunächst einmal: Das Problem, das du da ansprichst, beginnt nicht erst bei 2 Dimensionen, sondern schon bei einer.
Und dann: Ja, eine Trennung per Definition führt zu einem unendlich dünnen Spalt. Betrachten wir z.B. eine Linie auf der Zahlengerade der reellen Zahlen von 0 bis 2. Die Zahl 0 und 2 eingeschlossen. Mathematisch spricht man hier von einem geschlossenen Intervall. Der Unterschied zu einem offenen Intervall soll gleich klar werden.
Nun trennen wir diese Linie bei 1. Wir sagen per Definition, alles, was größer oder gleich 0 und kleiner als 1 ist, sei die Linie A. Alles, was größer oder gleich 1 und kleinergleich 2 ist, sei Linie B:
Menge A: 0 <= x < 1
Menge B: 1 <= y <= 2 wobei: x, y Element aus den Reellen Zahlen ist
B ist wieder ein geschlossenes Intervall. Es beginnt bei 1 und endet bei 2 - punktgenau.
A ist nun ein auf einer Seite offenes Intervall. Es beginnt bei punktgenau 0 (geschlossen) und endet unter 1, also bei 0,9999999... Das nennt man offen, weil man keinen letzten Punkt dafür findet.
Die Trennung ist hier in der Tat unendlich klein, also 0,0000... Das ist jedoch der Null äquivalent. Es gibt hier also eine klare Trennung, aber keinen Raum dazwischen, nicht einmal einen Punkt.
Ein ähnliches Beispiel ist:
Man schneide einen Kegel in der Hälfte durch. So erhält man einen kleinen Kegel und einen Stumpf. Beide besitzen einen glatten Kreis als Schnittfläche.
Die Frage ist nun: Sind die beiden Kreise gleich gross?
Auch hier gilt. Der Schnittkreis des unteren Teiles hat einen Radius, der unendlich gering länger ist als der Radius des oberen Teils. Das heißt, sie sind praktisch gleich groß, aber nicht qualitativ gleich groß. Sie sind per Definition getrennt, haben aber keinen Raum dazwischen. Den Raum dazwischen gäbe es nur, wenn du ihn definieren könntest.
Ich sehe jedoch keine Möglichkeit, diesen zu definieren.
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