Can We Believe IN Logic?

[Trestone]

Hallo,

wohl viele von uns benutzen ganz selbstverständlich die klassische Logik
und stellen sie auch kaum in Frage.

Immerhin funktioniert sie im Alltag und leistet uns in der Wissenschaft
gerade bei schwierigen Fragen gute Dienste.

Abereinige störende Punkte gibt es doch:

A) Da ist zum einen das Begründungstrilemma, das uns entweder in einen unendlichen Regress,
einen Zirkel oder in einen dogmatischen Begründungsabbruch führt,
also uns keine Letztbegründung ermöglicht – gerade auch nicht für die Logik -
und es selbst ist v.a. logisch begründet.

B) Dann ist da der Lügnersatz „Dieser Satz ist nicht wahr“,
der dank seiner negativen Selbsbezüglichkeit weder logisch wahr noch logisch falsch sein kann,
obwohl logische Sätze eigentlich entweder wahr oder falsch sein sollten.

Hier gibt es zwar Reperaturversuche zur Logik,doch die meisten schränken dabei die Selbstbezüglichkeit ein,
was wohl auch nicht gut ist.

C) In der Informatik gibt es das Halteproblem,
wo man mittels der Logik beweisen kann,
dass es kein Programm geben kann, das für alle Programme und gegebenen Input entscheidet,
ob diese nach endlicher Zeit anhalten oder in eine Dauerschleife geraten.

D) Und last not least die Gödelschen Unvollständigkeitssätze,
die im Kern besagen, dass in axiomatischen definierten formalen Systemen,
die die Arithmetik mit Multiplikation enthalten,
nicht alle (oder sogar die meisten) wahren Sätze nicht beweisbar sind.
Z.B. unsere klassische Mathematik ist solch ein System.
Auch in diesem „Unbeweisbarkeitsbeweis“ von Kurt Gödel nimmt die klassische Logik
eine zentrale Rolle ein .


Wir sehen also, dass die Logik auch bei schwierigen Problemen eingesetzt wird
und die meisten akzeptieren die Ergebnisse, auch wenn sie Unmöglichkeiten zeigen,
wie z.B. bei C) und D).

Statt Teil der Lösung zu sein, könnte die Logik aber auch Teil des Problems sein.

Letztbegründet ist sie nach ihren eigenen Aussagen bei A) ja nicht,
es könnte also Alternativen geben, vielleicht sogar mit „besseren“ Antworten zu A-D.


Eine einfache solche Logik wäre: „Alles ist wahr“ , damit wäre auch A-D wahr.
Aber diese Logik würde im Alltag nicht funktionieren,
denn in unserer Erfahrungswelt gibt es auch falsche Sätze.


Doch unabhängig davon, ob sich eine Logik konstruieren lässt,
die sich in Alltag und Wissenschaft einsetzen lässt
und zu A – D „bessere“ Lösungen liefert
(wer mich kennt weiß, dass ich mit meiner „Stufenlogik“ solches versucht habe),
interessiert mich,
wie es um den Glauben an die klassische Logik bestellt ist,
und welche Gründe es ggf. dafür oder dagegen gibt bzw. ihr habt.

Bei mir war z.B. außer A – D ein Grund,
dass so wenig an der Logik gezweifelt wird,
während z.B. in der Physikdie Begriffe zu Zeit, Raum und Materie
durch Relativitätstheorie und Quantentheorie stark verändert wurden,
hier vermute ich also Nachholbedarf.

Ein weitere Grund ist das Pippi Langstrumpf-Motto:
„Ich mach' mir die Welt
Widdewidde wie si emir gefällt ...“

Und A – D gefällt mir nicht …

Gruß
Trestone

 

[Chris M]

wohl viele von uns benutzen ganz selbstverständlich die klassische Logik und stellen sie auch kaum in Frage.

Ich halte die menschliche Logik und das rationale Denken generell für überbewertet. Ich bin mir aber nicht sicher, ob du das so grundlegend hier zum Thema machen willst, deshalb halte ich mich erst mal zurück.

Giacomo S dürfte ein interessanter Gesprächspartner für dich sein.

 

[PhilippP]

Hallo,
wohl viele von uns benutzen ganz selbstverständlich die klassische Logik
und stellen sie auch kaum in Frage.

Immerhin funktioniert sie im Alltag und leistet uns in der Wissenschaft
gerade bei schwierigen Fragen gute Dienste.

Die klassische Logik gehört zu den Strukturwissenschaften und in diesem Bereich mag sie gute Dienste leisten, hinsichtlich empirischer Wissenschaften besitzt sie jedoch keinerlei Relevanz - abgesehen davon, dass Wissenschaft selbstverständlich darum bemüht ist, folgerichtige Schlüsse aus Annahmen zu ziehen.

Abereinige störende Punkte gibt es doch:

A) Da ist zum einen das Begründungstrilemma, das uns entweder in einen unendlichen Regress,
einen Zirkel oder in einen dogmatischen Begründungsabbruch führt,
also uns keine Letztbegründung ermöglicht – gerade auch nicht für die Logik -
und es selbst ist v.a. logisch begründet.

Das Münchhausen-Trilemma "stört" doch die klassische Logik überhaupt nicht. Es geht hier um - wie du selbst feststellst - die argumentative Zurückweisung eines (philosophischen) Letztbegründungsanspruchs. Da ein solcher schwerlich auf empirischer Grundlage erfolgen kann, muss er formal begründet sein.

B) Dann ist da der Lügnersatz „Dieser Satz ist nicht wahr“,
der dank seiner negativen Selbsbezüglichkeit weder logisch wahr noch logisch falsch sein kann,
obwohl logische Sätze eigentlich entweder wahr oder falsch sein sollten.

Das Letztgenannte trifft aber nur auf die zweiwertigen Logiken zu.

Hier gibt es zwar Reperaturversuche zur Logik,doch die meisten schränken dabei die Selbstbezüglichkeit ein,
was wohl auch nicht gut ist.

Das Lügnerparadoxon hat ja nicht "die" Logik zerstört, sondern ergibt sich aus ihr als mögliches Problem, das - je nach Herangehensweise - durchaus logisch konsistent lösbar ist. Als ich erstmals davon hörte und etwas darüber sinnierte, erschien mir eine Verwechslung bzw. ungerechtfertigte Gleichsetzung verschiedener Aussageebenen vorzuliegen. Später fand ich meine Überlegungen in der Tarski-Hierarchie bestätigt.

Wir sehen also, dass die Logik auch bei schwierigen Problemen eingesetzt wird
und die meisten akzeptieren die Ergebnisse, auch wenn sie Unmöglichkeiten zeigen,
wie z.B. bei C) und D).

Du scheinst hier "die Logik" (die es so gesehen gar nicht gibt, es gibt nur verschiedene formale Systeme - siehe Strukturwissenschaften) gegen sich selbst auszuspielen. Die genannten "schwierigen Probleme" sind ja selbst Teil formaler Überlegungen, die durch Begriffe wie "Logik" bezeichnet werden.

Statt Teil der Lösung zu sein, könnte die Logik aber auch Teil des Problems sein.

Letztbegründet ist sie nach ihren eigenen Aussagen bei A) ja nicht,
es könnte also Alternativen geben, vielleicht sogar mit „besseren“ Antworten zu A-D.

Offenbar entwirfst du eine Kategorie der übergeordneten Logik und gehst davon aus, dass alle formalen Konzepte automatisch dieser unterzuordnen/beizuordnen sind. Diese Annahme bzw. Folgerung ergibt sich aber nicht schlüssig aus deiner Vorgehensweise und wirkt somit inkonsistent.

Eine einfache solche Logik wäre: „Alles ist wahr“ , damit wäre auch A-D wahr.
Aber diese Logik würde im Alltag nicht funktionieren,
denn in unserer Erfahrungswelt gibt es auch falsche Sätze.

Strukturwissenschaften beziehen sich im Allgemeinen gar nicht auf die Erfahrungswelt. Dies ist ein gängiges Missverständnis. Der erste Satz unseres Dozenten im Logikseminar: "Wenn Sie glauben, Sie könnten hier lernen, wie Sie denen da draußen mal richtig sagen, was Sache ist, sind Sie komplett an der falschen Adresse. Die Logik interessiert sich nicht für die Welt da draußen."

Ein weitere Grund ist das Pippi Langstrumpf-Motto:
„Ich mach' mir die Welt
Widdewidde wie si emir gefällt ...“

Das könnte durchaus erklären, weshalb du dich in scheinbare Widersprüche/Probleme verstrickst.

 

[Giacomo_S]

A) Da ist zum einen das Begründungstrilemma, das uns entweder in einen unendlichen Regress,
einen Zirkel oder in einen dogmatischen Begründungsabbruch führt,
also uns keine Letztbegründung ermöglicht – gerade auch nicht für die Logik -
und es selbst ist v.a. logisch begründet.

Es ist ein verbreiteter Irrtum - gerade in unseren Zeiten der Diskussionen im Internet - man käme gänzlich ohne Axiome aus. Tatsächlich bedarf es aber dieser Grundannahmen, die man natürlich in ihrer Anzahl so klein wie nur möglich hält, aber ohne Axiome gibt es keine Logik. Aber auch für Axiome gibt es Regeln.

B) Dann ist da der Lügnersatz „Dieser Satz ist nicht wahr“,
der dank seiner negativen Selbsbezüglichkeit weder logisch wahr noch logisch falsch sein kann,
obwohl logische Sätze eigentlich entweder wahr oder falsch sein sollten.

Selbstbezügliche Sätze gibt es als Paradoxien seit der griechischen Antike. Der o.g. Satz lautete damals etwa (sinngemäß zitiert): "Diomedes, der Kreter, sagte, alle Kreter sind Lügner."
Und genauso lange gelten sie als widerlegt.
Logische Aussagen bestehen immer aus der Verknüpfung von zwei Attributen. Auf der kleinstmöglichen Basis bestehen die Attribute aus den Werten 0 = falsch und 1 = wahr und die Verknüpfung aus UND, ODER und NICHT. Die Entwicklung der Informatik hat gezeigt, dass sich in der Praxis die gesamte Mathematik auf dieser minimalen Basis aufbauen lässt. Höhere mathematische Funktionen wie die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division als die nächsthöhere Ebene sind lediglich fortgesetzte Operationen der Basisfunktionen.
Und sogar schon der chinesische Abakus folgt diesen Prinzipien.

C) In der Informatik gibt es das Halteproblem,
wo man mittels der Logik beweisen kann,
dass es kein Programm geben kann, das für alle Programme und gegebenen Input entscheidet,
ob diese nach endlicher Zeit anhalten oder in eine Dauerschleife geraten.

Richtig, aber immerhin lässt sich heute angeben, welche Programme anhalten können und welche nicht.

D) Und last not least die Gödelschen Unvollständigkeitssätze,
die im Kern besagen, dass in axiomatischen definierten formalen Systemen,
die die Arithmetik mit Multiplikation enthalten,
nicht alle (oder sogar die meisten) wahren Sätze nicht beweisbar sind.
Z.B. unsere klassische Mathematik ist solch ein System.
Auch in diesem „Unbeweisbarkeitsbeweis“ von Kurt Gödel nimmt die klassische Logik
eine zentrale Rolle ein .

Nun, das ist etwas verquer dargestellt. Die Kernaussagen Kurt Gödels sind vielmehr:

1. Ist ein logisches System vollständig, dann ist es nicht widerspruchsfrei.
2. Ist ein logisches System widerspruchsfrei, dann ist es nicht vollständig.

Kuert Gödel und Paul Cohen konnten dies auf Georg Cantors Kontinuumsshypothese anwenden, einer Aussage der Mengentheorie (Cantor selbst verlor über seine Versuche des Beweises oder Widerlegung den Verstand, aber das ist eine andere Geschichte).

Sie konnten zeigen, dass Cantors Kontinuumsshypothese

1. Nicht im Widerspruch zur bekannten Mathematik steht. (Gödel, 1938)
2. Ihr Gegenteil nicht im Widerspruch zur bekannten Mathematik steht. (Cohen, 1960)

Cantors Kontinuumsshypothese ist also im Rahmen der uns bekannten Mathematik unentscheidbar, sie lässt sich weder beweisen noch widerlegen.
Äh ja? Na und? Was soll nun an solchen Hirnfürzen so dramatisch sein ...

... wenn es nicht eine ganz elementare Sache wäre, dass in der Mathematik etwas defintiv immer als wahr oder falsch zu entscheiden ist.
Denn bereits seit den Anfangszeiten der griechischen Mathematik vor rund 2.500 Jahren gibt es den Beweis durch das ausgeschlossene Dritte. Der Beweis basiert darauf, dass es nur zwei Zustände geben kann, wahr und falsch. Die Beweisführung basiert darauf, dass man eine Aussage als wahr annimmt - und dies in der Folge zu unauflösbaren Widersprüchen führt. Also kann die Aussage nur falsch sein.

Wenn es aber mathematische Aussagen gibt, die unentscheidbar sind, dann kann der Beweis durch das ausgeschlossene Dritte keine gültige Beweismethode mehr sein.
Es gibt aber eine ganze Reihe von grundlegenden mathematischen Aussagen, die auf dieser Beweismethode beruhen. Zum Beispiel die Irrationalität der Diagonale im Quadrat, die schon in den Zeiten des Pythargoras bewiesen wurde. Es ist schon fast ein Treppenwitz der Geschichte der Mathematik, dass es ausgerechnet Cantor war, der sich mit den irrationalen Zahlen beschäftigte.
Im 20. Jh. entstand daher ein Zweig der Mathematik, die Konstruktive Mathematik, die als Randposition der Mathematik alle mathematischen Sätze konstruktiv zu beweisen suchte. Das ist allerdings für viele mathematische Beweise noch nicht gelungen.

An den irrationalen Zahlen sind allerdings nicht nur Cantor und Gödel verzweifelt, schon zu Pythargoras Zeiten starben deswegen sogar Menschen. Denn der Legende nach soll der Schüler des Pythargoras und Pythargoreer (5. Jh. v. Chr.) Hippasos bei einem Schiffbruch ertrunken sein, weil er die Irrationalität der Diagonale im Quadrat bewies, als göttliche Strafe. Denn die Pythargoreer glaubten ganz unbedingt an die ausschließliche Rationalität von Zahlen (= durch Teiler darstellbar). Und da ja nicht sein kann, was nicht sein darf ...

Wir sehen also, dass die Logik auch bei schwierigen Problemen eingesetzt wird
und die meisten akzeptieren die Ergebnisse, auch wenn sie Unmöglichkeiten zeigen,
wie z.B. bei C) und D).

Statt Teil der Lösung zu sein, könnte die Logik aber auch Teil des Problems sein.

In einem Kneipengespräch mit einem mir befreundeten Mathematiker stellte der mir dar:
Die Unentscheidbarkeit von Cantors Kontiuumshypothese gilt damit nicht grundsätzlich für die gesamte Mathematik, sondern nur für diese Aussage. Weiter ausführen kann ich dies hier aber nicht, denn es war schon spät und feucht-fröhlich.

Ein weitere Grund ist das Pippi Langstrumpf-Motto:
„Ich mach' mir die Welt
Widdewidde wie si emir gefällt ...“

Und A – D gefällt mir nicht …

Gruß
Trestone

Trestone, ich kann mir schon denken, worauf das hier hinauslaufen soll, wieder einmal um Deine "Stufenlogik" (was auch sonst, denn Du hast ja kein anderes Thema).
Pippi Langstrumpf mag eine freche Göre gewesen sein, ich bezweifle aber, dass sie immer die Hellste war.

Deine Stufenlogik hat im Wesentlichen zwei Schwachpunkte:

1. Sie ist so beliebig, dass sie jede Aussage zulässt - und damit ist sie wertlos.
2. Sie ist so kompliziert, dass sie außer Dir niemand kapiert.

 

[Trestone]

Ich halte die menschliche Logik und das rationale Denken generell für überbewertet. Ich bin mir aber nicht sicher, ob du das so grundlegend hier zum Thema machen willst, deshalb halte ich mich erst mal zurück.

Giacomo S dürfte ein interessanter Gesprächspartner für dich sein.

Hallo Chris M,

doch, das klingt interessant,
die Alternative zur klassischen Logik muss ja nicht wieder eine Logik und rational sein.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Die klassische Logik gehört zu den Strukturwissenschaften und in diesem Bereich mag sie gute Dienste leisten, hinsichtlich empirischer Wissenschaften besitzt sie jedoch keinerlei Relevanz - abgesehen davon, dass Wissenschaft selbstverständlich darum bemüht ist, folgerichtige Schlüsse aus Annahmen zu ziehen.

Trestone: Hallo PhilippP,
die Art der zulässigen (und unzulässigen) Schlüsse hängt aber von der verwendeten Logik ab,
und damit mindestens der Theorieteil der Wissenschaft.

Das Münchhausen-Trilemma "stört" doch die klassische Logik überhaupt nicht. Es geht hier um - wie du selbst feststellst - die argumentative Zurückweisung eines (philosophischen) Letztbegründungsanspruchs. Da ein solcher schwerlich auf empirischer Grundlage erfolgen kann, muss er formal begründet sein.

Trestone: Für mich ist es schon seltsam, dass Letztbegründungen so schwierig oder gar unmöglich sind.
Gerade beim Versuch dies zu begründen spielt die (klassische) Logik eine wichtige Rolle,
d.h. mit Alternativen könnte es anders sein.

Das Letztgenannte trifft aber nur auf die zweiwertigen Logiken zu.

Trestone: Mehrwertige Logiken ändern nur wenig an den von mir skizzierten Problemen,
z.B. gibt es auch einen Lügnersatz zu dreiweriger Logik,
ich sehe sie als mitgemeint bei "klassischer Logik".

Das Lügnerparadoxon hat ja nicht "die" Logik zerstört, sondern ergibt sich aus ihr als mögliches Problem, das - je nach Herangehensweise - durchaus logisch konsistent lösbar ist. Als ich erstmals davon hörte und etwas darüber sinnierte, erschien mir eine Verwechslung bzw. ungerechtfertigte Gleichsetzung verschiedener Aussageebenen vorzuliegen. Später fand ich meine Überlegungen in der Tarski-Hierarchie bestätigt.

Trestone: Ja, die Tarski-Hierarchie sehe ich als so einen "Reparaturversuch",
aber dadurch wird einiger Selbstbezug ausgeschlossen (da Hierarchieverletzung).

Du scheinst hier "die Logik" (die es so gesehen gar nicht gibt, es gibt nur verschiedene formale Systeme - siehe Strukturwissenschaften) gegen sich selbst auszuspielen. Die genannten "schwierigen Probleme" sind ja selbst Teil formaler Überlegungen, die durch Begriffe wie "Logik" bezeichnet werden.

Trestone: Was spricht dagegen, das "Selbstausspielen" zu versuchen?


Offenbar entwirfst du eine Kategorie der übergeordneten Logik und gehst davon aus, dass alle formalen Konzepte automatisch dieser unterzuordnen/beizuordnen sind. Diese Annahme bzw. Folgerung ergibt sich aber nicht schlüssig aus deiner Vorgehensweise und wirkt somit inkonsistent.

Trestone: Ja, das stimmt, insbesondere versuche ich, logisch gegen die Logik zu argumentieren.
Hier könnte man nach tiefergehenden Alternativen suchen oder zumindest transparent machen,
mit welchen Logikregeln argumentiert wird.

Strukturwissenschaften beziehen sich im Allgemeinen gar nicht auf die Erfahrungswelt. Dies ist ein gängiges Missverständnis. Der erste Satz unseres Dozenten im Logikseminar: "Wenn Sie glauben, Sie könnten hier lernen, wie Sie denen da draußen mal richtig sagen, was Sache ist, sind Sie komplett an der falschen Adresse. Die Logik interessiert sich nicht für die Welt da draußen."

Trestone: Ja, man kann Logik als "Glasperlenspiel" betreiben und damit als rein formales Regelsystem.
Aber ich glaube, der Erfolg der klassischen Logik rührt aus ihrer Bewährung in unserer Erfahrungswelt.
Und eine alternative Logik, die die klassische ersetzen will, müsste vergleichbar gut zu unserer Erfahrungswelt passen.

Das könnte durchaus erklären, weshalb du dich in scheinbare Widersprüche/Probleme verstrickst.

Trestone: Es gibt auch rein theoretische Probleme, zu denen die klassische Logik führt:
So zeigt der Diagonalbeweis von Cantor, dass die reellen Zahlen nicht abzählbar sind,
es also "überabzählbar unendliche" Mengen gibt
und allgemein die Potenzmenge eine "höhere Unendlichkeit" als die zugehörige Menge hat,
es daher "unendlich viele Unendlichkeiten" gibt.
Das erscheint mir abstrus und hängt auch an Cantors Beweisen mit klassischer Logik.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Es ist ein verbreiteter Irrtum - gerade in unseren Zeiten der Diskussionen im Internet - man käme gänzlich ohne Axiome aus. Tatsächlich bedarf es aber dieser Grundannahmen, die man natürlich in ihrer Anzahl so klein wie nur möglich hält, aber ohne Axiome gibt es keine Logik. Aber auch für Axiome gibt es Regeln.

Trestone: Hallo Giacomo_S,
aber andere alternative Axiome/Regeln könnten weniger negative "Nebenwirkungen" als die der klassischen Logik haben.

Selbstbezügliche Sätze gibt es als Paradoxien seit der griechischen Antike. Der o.g. Satz lautete damals etwa (sinngemäß zitiert): "Diomedes, der Kreter, sagte, alle Kreter sind Lügner."
Und genauso lange gelten sie als widerlegt.
Logische Aussagen bestehen immer aus der Verknüpfung von zwei Attributen. Auf der kleinstmöglichen Basis bestehen die Attribute aus den Werten 0 = falsch und 1 = wahr und die Verknüpfung aus UND, ODER und NICHT. Die Entwicklung der Informatik hat gezeigt, dass sich in der Praxis die gesamte Mathematik auf dieser minimalen Basis aufbauen lässt. Höhere mathematische Funktionen wie die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division als die nächsthöhere Ebene sind lediglich fortgesetzte Operationen der Basisfunktionen.
Und sogar schon der chinesische Abakus folgt diesen Prinzipien.

Trestone: Ja, es gibt "Reparaturversuche" zum Lügnersatz (z.B. Tarski-Hierarchie),
aber diese schränken aus meiner Sicht die zugelassenen Sdelbstbezüge ein.

In der Informatik gilt das Halteproblem (z.B. für Turingmaschinen, die sich aus Basisfunktionen aufbauen lassen).

Richtig, aber immerhin lässt sich heute angeben, welche Programme anhalten können und welche nicht.

Trestone: Für Teilarten von Programmen (z.B. mit begrenzter Länge) gilt das wohl,
aber nicht für alle Programme - oder habe ich etwas verpasst?

Nun, das ist etwas verquer dargestellt. Die Kernaussagen Kurt Gödels sind vielmehr:

1. Ist ein logisches System vollständig, dann ist es nicht widerspruchsfrei.
2. Ist ein logisches System widerspruchsfrei, dann ist es nicht vollständig.

Kuert Gödel und Paul Cohen konnten dies auf Georg Cantors Kontinuumsshypothese anwenden, einer Aussage der Mengentheorie (Cantor selbst verlor über seine Versuche des Beweises oder Widerlegung den Verstand, aber das ist eine andere Geschichte).

Sie konnten zeigen, dass Cantors Kontinuumsshypothese

1. Nicht im Widerspruch zur bekannten Mathematik steht. (Gödel, 1938)
2. Ihr Gegenteil nicht im Widerspruch zur bekannten Mathematik steht. (Cohen, 1960)

Cantors Kontinuumsshypothese ist also im Rahmen der uns bekannten Mathematik unentscheidbar, sie lässt sich weder beweisen noch widerlegen.
Äh ja? Na und? Was soll nun an solchen Hirnfürzen so dramatisch sein ...

... wenn es nicht eine ganz elementare Sache wäre, dass in der Mathematik etwas defintiv immer als wahr oder falsch zu entscheiden ist.
Denn bereits seit den Anfangszeiten der griechischen Mathematik vor rund 2.500 Jahren gibt es den Beweis durch das ausgeschlossene Dritte. Der Beweis basiert darauf, dass es nur zwei Zustände geben kann, wahr und falsch. Die Beweisführung basiert darauf, dass man eine Aussage als wahr annimmt - und dies in der Folge zu unauflösbaren Widersprüchen führt. Also kann die Aussage nur falsch sein.

Wenn es aber mathematische Aussagen gibt, die unentscheidbar sind, dann kann der Beweis durch das ausgeschlossene Dritte keine gültige Beweismethode mehr sein.
Es gibt aber eine ganze Reihe von grundlegenden mathematischen Aussagen, die auf dieser Beweismethode beruhen. Zum Beispiel die Irrationalität der Diagonale im Quadrat, die schon in den Zeiten des Pythargoras bewiesen wurde. Es ist schon fast ein Treppenwitz der Geschichte der Mathematik, dass es ausgerechnet Cantor war, der sich mit den irrationalen Zahlen beschäftigte.
Im 20. Jh. entstand daher ein Zweig der Mathematik, die Konstruktive Mathematik, die als Randposition der Mathematik alle mathematischen Sätze konstruktiv zu beweisen suchte. Das ist allerdings für viele mathematische Beweise noch nicht gelungen.

An den irrationalen Zahlen sind allerdings nicht nur Cantor und Gödel verzweifelt, schon zu Pythargoras Zeiten starben deswegen sogar Menschen. Denn der Legende nach soll der Schüler des Pythargoras und Pythargoreer (5. Jh. v. Chr.) Hippasos bei einem Schiffbruch ertrunken sein, weil er die Irrationalität der Diagonale im Quadrat bewies, als göttliche Strafe. Denn die Pythargoreer glaubten ganz unbedingt an die ausschließliche Rationalität von Zahlen (= durch Teiler darstellbar). Und da ja nicht sein kann, was nicht sein darf ...

Trestone: Mit meiner Stufenloge ist z.B. Wurzel 2 nicht mehr irrational, sondern kann in verschiedenen Stufen
verschiedene rationale Darstellungen haben, aber das würde hier zu weit führen, nur ein kurzer Gruß an die Pythagoreer ...


In einem Kneipengespräch mit einem mir befreundeten Mathematiker stellte der mir dar:
Die Unentscheidbarkeit von Cantors Kontiuumshypothese gilt damit nicht grundsätzlich für die gesamte Mathematik, sondern nur für diese Aussage. Weiter ausführen kann ich dies hier aber nicht, denn es war schon spät und feucht-fröhlich.



Trestone, ich kann mir schon denken, worauf das hier hinauslaufen soll, wieder einmal um Deine "Stufenlogik" (was auch sonst, denn Du hast ja kein anderes Thema).
Pippi Langstrumpf mag eine freche Göre gewesen sein, ich bezweifle aber, dass sie immer die Hellste war.

Trestone: Die Stufenlogik sehe ich als eine mögliche Alternative,
aber hier geht es mehr darum, weshalb wir Alternativen zur klassischen Logik suchen - oder nicht!
Da auch ein blindes Huhn ein Korn finden kann,
bin ich bei der Suche für viele Wege offen (auch für Pippi bzw. Astrid L.)

Deine Stufenlogik hat im Wesentlichen zwei Schwachpunkte:

1. Sie ist so beliebig, dass sie jede Aussage zulässt - und damit ist sie wertlos.
2. Sie ist so kompliziert, dass sie außer Dir niemand kapiert.

Trestone: Zu 1.: Ja, mittels Stufenlogik lassen sich durch den zusätzlichen Parameter Stufe
viel mehr Aussagen als klassisch abbilden (auch viele bisher widersprüchliche).
Aber da z.B. Aussagen, die in derselben Stufe wahr und falsch sind, nicht erlaubt sind,
sind nicht alle Aussagen zulässig.

Zu 2. Ich würde hie die Einschränkung "außer Dir" auf "unbestimmt" ändern,
die Stufenlogik nutzt ja drei Wahrheitswerte ...

Gruß
Trestone

 

[Bernies Sage]

Can we believe in.........??

....»hyper-logic low-tech in economical circulation«,...

Sage mir wozu Du eine Stufenlogik mit vorbestimmten Wahrheitswerten benötigst
und ich sage Dir wie Du in deiner nachbestimmten Letztbegründung jeweils tickst.

Bernies Sage (Bernhard Layer)

 

[Giacomo_S]

Trestone: Zu 1.: Ja, mittels Stufenlogik lassen sich durch den zusätzlichen Parameter Stufe
viel mehr Aussagen als klassisch abbilden (auch viele bisher widersprüchliche).
Aber da z.B. Aussagen, die in derselben Stufe wahr und falsch sind, nicht erlaubt sind,
sind nicht alle Aussagen zulässig.

Zu 2. Ich würde hie die Einschränkung "außer Dir" auf "unbestimmt" ändern,
die Stufenlogik nutzt ja drei Wahrheitswerte ...

In der klassischen Logik mit den zwei Wahrheitswerten wahr (= 1) und falsch (= 2) erhält man vier mögliche Kombinationen (00,01,10,11), die - rein theoretisch - mit maximal 16 (= 2^4) verschiedenen Verknüpfungen (AND, NOT, EQV, NOR, XOR... usw.) miteinander verbunden sein können, da es 16 verschiedene Möglichkeiten eines Ergebnisses dafür gibt.
In der Praxis werden aber nicht alle theroretisch möglichen Verknüpfungen angewandt.

In einer Logik mit drei Wahrheitswerten erhält man neun Kombinationen (00,01,02,10,11,12,20,21,22) die mit maximal 3^9 = 19.683 verschiedenen Verknüpfungen miteinander verbunden sein können. Leider würden wir sie nicht einmal wie in der klassichen Logik (z.B. 3 Großbuchstaben ohne Umlaute) bezeichnen können, denn unser Alphabet schenkt uns dafür nur 26^3 = 17.576 Kombinationen von AAA bis ZZZ.

Natürlich kann man sich auf den Standpunkt stellen, aus den 19.683 möglichen Verknüpfungen nur die "sinnvollen" von den "nicht sinnvollen" verwenden zu wollen. Allein die Auswahl dieser Verknüpfungen dürfte aber bereits eine Art Lebenswerk darstellen, vor allem dann, wenn noch begründet werden soll, welche davon "sinnvoll" und welche "nicht sinnvoll" sind.

 

[Chris M]

Ich halte die menschliche Logik und das rationale Denken generell für überbewertet. Ich bin mir aber nicht sicher, ob du das so grundlegend hier zum Thema machen willst, deshalb halte ich mich erst mal zurück.

Hallo Chris M,

doch, das klingt interessant,
die Alternative zur klassischen Logik muss ja nicht wieder eine Logik und rational sein.

Zunächst einmal schicke ich voraus, dass die Logik und das rationale Denken natürlich ihren Platz haben, meiner Meinung nach aber nicht bei den letzten Fragen. Hier muss die menschliche Logik passen und das rationale Denken muss kapitulieren:

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Mit dem Begriff Irrationalismus (von irrational = „unvernünftig“) bezeichnet man eine Lehre oder Weltanschauung, die die Überzeugung ablehnt, dass die menschliche Vernunft (lateinisch ratio) eine hinreichende Erkenntnis der Welt erwerben kann.
...
Der Begriff „Irrationalismus“ bezeichnet keine selbständige philosophische Strömung, sondern ist Moment und Bestandteil verschiedener philosophischer Strömungen und Systeme. Von Irrationalismus im eigentlichen Sinne spricht man bei Weltanschauungen, denen das Moment der Irrationalität in besonders starkem Maße eigentümlich ist und die darüber hinaus das rationale Denken zugunsten alternativer höherer Erkenntnisfunktionen hintenanstellen, oft zugunsten einer bestimmten Form der Intuition.

https://de.wikipedia.org/wiki/Irrationalismus
-----------------------------------------------------------------------------

Der Begriff "irrational" ist in unserer Gesellschaft natürlich komplett negativ belegt, deshalb sollte dies nicht so missverstanden werden, dass man nun an die Stelle der Logik das totale Chaos, Phantasterei oder ähnliches stellen sollte. Vielmehr geht es darum, erst einmal anzuerkennen, dass es Dinge gibt, die außerhalb unserer möglichen Erkenntnis liegen. Jedenfalls außerhalb unserer konventionellen Möglichkeiten der Erkenntnis. Wir müssen neue Wege gehen. Dazu bringe ich immer wieder gerne das Affengleichnis, weil es auf bildhafte Weise darstellt, was ich damit meine:

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There are things that lay outside of our ability to observe. But it is not necessarily because there are not things to be observed outside of what we are able to observe. Therefore, it isn't necessarily true that there are questions we can't have answers for. It just may mean we need help resolving the problem because the problem lies beyond our ability to perceive, observe, or comprehend, in a material sense.

Think of it like this: no matter how simple you make the process of an instrumentation panel of an airplane, once in the air, if you place an orangutan in the captain's chair, you are totally doomed. Of course I am biased in this thought experiment, I've been left no doubt that there is something outside of what I can observe. However, for the orangutan it's imminent demise does not revolve around flying, instrumented processes, airplanes and runways, not existing. The orangutan is doomed because the entire Dynamic of flight, airplanes, processes and runways, lies beyond the brain barrier, or ability of the mind, of the orangutan
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Der Verstand des Affen reicht aus, um in seiner normalen Umgebung zu überleben. Setzt man ihn aber an das Steuer eines Flugzeuges, kann er nur versagen, weil diese Aktivität ihn völlig überfordern wird. So auch mit dem rationalen Denken des Menschen: Es hat seine Funktion im Alltag, jeder benutzt es um nicht überfahren zu werden, um nicht zu ungesund zu leben etc., kurz: um zu überleben. Auch in der Wirtschaft, der Rechtsprechung etc. kommt es zum Tragen und zuletzt auch in der Philosophie. Aber hier ist dann meiner Meinung nach das Limit erreicht. Die Welt der Logik hat eine Decke und dort dreht sich die Logik dann nur noch um sich selber und kommt nicht mehr weiter.

Arthur Schopenhauer vertrat eine ähnliche Ansicht:

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Innerhalb der Philosophie des 19. Jahrhunderts entwickelte er eine eigene Position des subjektiven Idealismus und vertrat als einer der ersten Philosophen im deutschsprachigen Raum die Überzeugung, dass der Welt kein rationales Prinzip zugrunde liegt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Arthur_Schopenhauer
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Er vertrat die Ansicht, dass ein metaphysischer blinder Wille zum Leben hinter der Welt steckt und dass deshalb alle Rationalisierungen unseres Handelns eben genau das sind: Rationalisierungen ohne Grundlage. Denn das bestimmende Prinzip ist irrational.

Auf derselben Basis kann man sich die Frage stellen wieso Gott nicht mit uns spricht, also wieso das Metaphysische sich uns nicht einfach offenbart, wenn es existiert. Hier kommt wieder das Affengleichnis ins Spiel: Solange wir mit dem rationalen Denken versuchen, das Metaphysische zu erklären, wird es sich uns immer entziehen. Es liegt also an uns, nicht am Metaphysischen. Wir brauchen daher eine neue Wissenschaft, um diese Bereiche der Wirklichkeit zu erforschen.